【时讯】这道美国高考数学题，30万人只有3个体做对

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写文章的七君

离高考还有30天。 今天送大家一个觉醒的美国高考命题。

1982年5月1日美国高考数学卷有这样的问题

先讨论问题吧。 这个问题是小圆的直径只有大圆的三分之一。 小圆绕大圆回到原位时，它转了几圈？

有五个选择，这个不用翻译大家都明白。

暂且不论答案，你选择什么？

我相信很多人会选择b。 这起交通事故现场问题的出题人也是这么认为的。

如果把大圆的圆周弄直，它的长度应该是小圆圆周的3倍，所以小圆以它为中心旋转3圈，对吧？

不。

如果你不相信，我们会实际操作。

看，小圆绕大圆的四分之一的时候，已经绕了一圈——

绕大圆一周，实际上小圆会转四圈。 所以正确答案是4，两个选项都不在内。

根据出卷者美国大学理事会( college board )的事后声明，这个美国高考出卷者的答案是错的，但当时参加这个考试的30万名考生中，只有3人给出了正确答案。

最后，明明美国大学理事会错了，除了那三个人之外，所有人的分数都被取消了。

纽约时报1982年5月25日关于这次高考数学问题错误的报道(白框)。

30万人中只有3人是对的，其实这种现象太不可思议了。 这是因为数学上也给出了硬币悖论( coin paradox )。

如果用两个半径一模一样的圆玩，发现一方绕另一方旋转半圈时，实际上自转了360度。 绕另一个圆转一圈，就转720度，也就是两圈。

这个问题有解决方法吗？ 其实有。 答案是公转圆的圆心画的圆的半径与这个圆的半径之比。 在下图中，绿色的这个圆的半径与小圆的半径之比。

以1982年高考的题目为例，公转圆的中心轨迹是圆，而且其半径是小圆的4倍，所以是4圈。

如果两个圆的直径相同，公转中心旋转的圆的轨迹半径是其两倍，因此旋转两次。

硬币悖论是怎么产生的？

大家画个重点吧。 硬币悖论的本质是公转圆的每一点描绘的路径不是圆形，而是腰的形状——肾形线。

肾形线(红色)

如果两个圆的半径相等，轨迹就是另一个器官心脏线。 孔子说，根据看问题的立场，这条线也可以看作是屌丝。

心脏线(蓝色)

事实上，解开硬币悖论的想法也用于解开亚里士多德在公元前4世纪提出的另一个绊脚石。

在《关于力学》( mechanica )一书中，问题很多的亚里士多德提出了这样的问题。

半径为r的车轮绕地面一周，不产生滑动摩擦的情况下，车轮上的各点行驶的距离是2πr，对吧？

这个圈可以看作是许多小圈一个一个地罩着。 小车轮对大车轮也不产生滑动摩擦，大车轮转一周，小车轮也转一周。 但是，小车轮的半径r比大车轮小，为什么小车轮上的任意几个行驶距离也是2πr？

这个悖论也被称为亚里士多德的饭桶水桶悖论( aristotle's wheel paradox )。 两千年来，这个问题成了许多世界闻名的理科生命题。

例如，伽利略的解法是，考虑到圆形车轮是由很多有房子的多边形构成的，在小车轮滚动的时候，稍微跳过了间隙…总之伽利略的意思是这样的——

多边形滚动时，中间的一个小多边形跳跃前进，没有走大多边形的全过程。 伽利略由此推论圆形也是如此。

这个问题使他确信，那样车轮就是由有无限空隙的材料构成的。 因为这种物质必然是由小粒子，也就是原子构成的。

教练，原子论可以这样推吗？ (叔叔“嗯”声音)

但是，利用美国高考这个问题的想法，可以越过伽利略的无限大脑“孔”，得到这个悖论的解法。

实际上，与直觉不同，大圆上的一点一点行走的路径长度不是2πr，而是画了比2πr大的线，应该是秃头了吧。

这条线叫摆线。

同样，小圆上的几条描绘的轨迹也不是直线，而是摆线，但小圆的摆线曲线的长度比大圆的摆线曲线短。 因为转了一圈，摆线的长度是半径的8倍。

亚里士多德的这个悖论还可以得出这样的推论:不管两条线段各有多长，它们拥有的点的数量都是一样的。 任何线段上的一些可以在另一条线段上找到对应的东西。

这个推论放在整数上也成立:全偶数的数量等于全整数的数量。

顺便说一下，其实生活中屁股线还是很好的。

你认为你见过圆杯子里液面这种科屁股形状的反射点吗？

圆锥形杯子里液面的心脏线

那是屁股线的形状。 这是因为，入射光与圆锥斜边，即杯壁平行时，圆锥的返回光(一条光入射到曲面上，反射回来的线)会成为屁股线。

液面、锥形杯壁上入射光的反射光可以看作点光源，形成新的心脏线形状的返回光。

臀部线条在日常生活中是众所周知的，但与不懂原理的现象有关。

歌手们吹高音的时候，为什么要把麦子带得很远？

其实，这是因为很多麦子，也就是风靡50年的sm58麦子接受声音的范围是屁股线画的屁股形状——

大多数麦克风都是心形的。 也就是说，只有心形区域的声音才能更有效地接收。

这种麦子也被称为心形，可以更有效地阻断观众声音般的麦克风后面的声音。 所以歌手们要成为粉丝，就必须把麦子面向观众。

心形指向的麦克风可以更有效地屏蔽麦克风后面的声音

面向心形的麦克风的另一个优点是，如果太近，作为接近效果的低音会放大。 相反，如果拿得太远，低音炮就会弱化。 所以高音的时候，为了强调高音的部分，ktv歌手们把麦子带到很远的地方。

让我们看看大哥的示范

接近效果:心形指向的麦克风接近声源时，低音部被放大，相反变弱。

没有全向麦克风，也就是说能够接收以麦克风为中心的球内的声音的现象。

我明白了。 学好数学，喝奶茶唱k都记得你的形状。

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原标题:“这道美国高考数学题，30万人只做了3个对的事，连出题人都错了。”

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